Differential Equations | Sohn Ryang's Blog

분명 나는 수II까지밖에 못배웠는데 방과후에서는 나보고 미분방정식을 풀라고 한다. ~~망했다~~

여기서는 방과후수업에서 받은 자료들과 위키/내 ~~수학 겁나 못하는~~ 머리에서 온 것들을 모았다.

미분방정식과 그 예

미분방정식은 모르는 함수와 그 함수의 도함수를 포함하는 방정식이다. ~~여기서 쉽겠네 하고 낚임~~

모르는 함수와 그 도함수에 대해 1차항까지만 있는 방정식이다.

$\frac{dy}{dx} = y$ $\frac{d^2y}{dx^2} + a_1(x) \frac{dy}{dx} + a_2(x)y = f(x)$

등등…

선형 미분방정식과 달리, 2차 이상의 항들이 있다. 이런건 손으로 풀기보다는 컴퓨터가 노가다하는 수치해석 알고리즘을 이용한다.

$\frac{d^2y}{dx^2} = k \sin{y}$

편미분을 이용한 미분방정식이다. 이런것도 비선형 미분방정식처럼 컴퓨터한테 시킨다.

$\frac{\partial^2{V}}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2{V}}{\partial{y^2}} = 0$

다음과 같은 형태의 미분방정식에 사용하는 방법이다.

$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$

다음과 같은 방정식이 있다고 하자.

$\frac{dy}{dx} = \frac{y + 1}{x + 1}$

양번에 $dy$를 곱한다.

$\frac{1}{y + 1}dy = \frac{1}{x + 1}dx$

양변을 적분한다.

$\int \frac{1}{y + 1}dy = \int \frac{1}{x + 1}dy$

이는 다음과 같다. ($C$는 적분상수)

$\ln{(y + 1)} = \ln{(x + 1)} + C$

정리하면 ($C_1$은 임의의 상수)

$y + 1 = C_1(x + 1)$

미분방정식 중에서는 그나마 간단하다.

앞서 말했듯 복잡한 미분방정식은 손으로 풀기보다 노가다를 잘하는 컴퓨터에게 시켜서 푼다. 이러한 알고리즘에는 오일러의 방법같은 것이 있다.